数字滤波基础

yes先生

数字滤波理论
     数字滤波最明显的优势是几乎消除了无源元件随时间和温度的波动、运算放大器漂移(有源滤波器)等造成的滤波器误差。数字滤波器的特性可以通过软件控制轻松改变，广泛应用于自适应滤波。设计数字滤波器的基本步骤与设计模拟滤波器相同。首先确定所需的频率响应特性，然后计算滤波器参数。模拟滤波器与数字滤波器的主要差别在于：前者计算的是电阻、电容和电感值，而后者计算的是系数值。对于数字滤波器，数值取代了模拟滤波器的电阻和电容等物理元件。这些数值作为滤波器系数保存在存储器中，与来自ADC的数据一起用于执行滤波计算。
数字滤波器的功能就是把输入序列x(n)通过一定的运算变换成输出序列y(n)。不同的运算处理方法决定了滤波器实现结构的不同。
图2.1显示基本数字滤波功能：滤除一个低频信号中的高频噪声。原始波形必须利用一个ADC数字化，产生样本x(n) 。然后将这些数据值馈入数字滤波器。输出数据样本为y(n)，DAC利用它重建一个模拟波形。和模拟滤波器相比，ADC和DAC是新加入部分。





图2.1 基本数字滤波示意图


       图2.2显示了91抽头FIR滤波器响应与切比雪夫模拟滤波器响应的对比。一是针对1dB 带内纹波而优化的二阶、四阶、六阶理想切比雪夫低通模拟滤波器；一是针对0.2dB通带纹波而优化的91抽头数字FIR滤波器。可以看出几乎没有与之对应的模拟滤波器，因为硬件无法实现如此高阶的模拟滤波。FIR滤波器通带内的响应更平坦，通带内的相位失真可忽略不计，因为滤波器将所有频率成分均等延迟。





         图2.2数字滤波器和模拟滤波器的比较


从以上分析可以看出，数字滤波和模拟滤波相比优势在于如下几点：
1、  线性相位、恒定的群延时（FIR）；
2、  无器件变化导致的漂移；
3、  灵活，可实现自适应滤波；
4、  易于仿真和设计。
数字滤波存在的限制：
1、  仍然需要模拟滤波器用来抗混叠和高频处理（离散带来的频谱重复，如图2.3所示）；
2、  至少需要ADC器件，有时还需要DAC器件恢复模拟信号；
3、  对于高带宽信号，缺少高速ADC对其进行采样。





图2.3 离散后的频谱重复


2.1.2 FIR理论
FIR滤波器之所以得名为有限脉冲响应(FIR)滤波器，是因其脉冲响应的持续时间是有限的。也就是说：对于N阶FIR滤波器，在输入N个零值输入样本后，滤波器输出一定为0。如图2.4所示。
FIR计算公式（差分方程）：
                                                                                                                (2-1)
硬件实现结构：

图2.5  FIR实现的基本结构


       提高抽头数N可以使FIR滤波器的滚降特性发生更急剧的变化（如图2.6所示），阻带衰减特性可以通过适当地选择滤波器系数来改善。FIR滤波器设计的本质在于选择合适的滤波器系数和抽头数，从而实现所需的频率传递函数（频率响应）H(f)。有多种算法可将频率响应H(f)转换成一组FIR系数h(n)（可直接利用MATLAB工具）。所以我们设计的重点是，把需求转化为频率响应H(f)。

         



图2.6抽头数对滤波器的影响


       FIR滤波器设计的关键法则是：FIR滤波器的系数h(n) 等于频率传递函数H(f) 的脉冲响应的量化值。反之，脉冲响应为H(f)的傅里叶变换。
在数字采样系统中，卷积运算可以通过一系列乘法和累加来实现。时域/频域中的卷积运算相当于频域/时域中的点与点乘法。从图2.7可以看出，频域中的滤波可以通过如下方式完成：将通带中的所有频率成分乘以1，并将阻带中的所有频率成分乘以0。即频域中的乘法，相当于时域中的卷积。反之，频域中的卷积相当于时域中的点与点乘法。
频域中的传递函数可以通过傅里叶变换转换到时域，这种变换会在时域中产生一个脉冲响应。由于频域中的乘法(信号频谱乘以传递函数)相当于时域中的卷积(信号与脉冲响应卷积)，因此可以将信号与脉冲响应卷积，从而对信号进行滤波。FIR滤波正是这样一个过程。
在连续时间系统中，拉普拉斯变换可以看作是傅里叶变换的一般情形。同样，可以对离散时间数据采样系统的傅里叶变换进行一般化处理，得到所谓z变换。

         图2.7时域和频域的对偶性


FIR滤波器设计关键：
1、  FIR 滤波器的系数h(n) 等于频率传递函数H(f ) 的脉冲响应的量化值。
2、  通过对H(f ) 进行傅里叶变换来计算脉冲响应。

2.1.3 IIR理论

和FIR滤波器相比，IIR滤波器有对应的传统模拟滤波器(巴特沃兹、切比雪夫和椭圆滤波器)，并且可以利用我们更熟悉的传统滤波器设计技术进行分析和合成。
图2.8(a) 显示了一个模拟压控电压源低通滤波器，属于Sallen-Key 复极点拓扑结构，其对应的IIR数字滤波器如图2.8(b)所示。该二阶IIR滤波器称为“双二阶滤波器” (因为它是利用z域中的一个双二阶方程式来描述)，是更高阶IIR设计的基本构建模块。图中还给出了描述具有5个系数的该滤波器特性的差分方程。

(a)二阶低通有源滤波器

(b)对应的IIR滤波器

图2.8模拟滤波器和IIR对应关系

IIR滤波器系统函数表示为：

(2-2)

由系统函数可以得到系统输入与输出关系的常系数线性差分程为：

(2-3)

IIR滤波器的单位抽样响应h(n)是无限长的，结构上存在着输出信号到输入信号的反馈，在z平面的有限区间(0<︱z︱<∞)有极点存在。
虽然可以直接根据此方程式构建一个高阶IIR滤波器(称为“直接形式”实现)，但量化误差(有限字长)引起的累计误差可能引起不稳定和较大的误差。因此，常常是级联几个具有适当系数的双二阶部分，而不是使用直接形式实现。双二阶部分可以独立缩放，然后级联起来（这种级联和模拟滤波设计思路类似），从而使系数量化和递归累计误差最小。级联双二阶滤波器比相应的直接形式滤波器执行得更慢，但更稳定，并且有限算法误差引起的误差影响降至最小。
对于二阶的IIR数字滤波器，其传递函数为：

常系数线性差分方程为： (2-4)

(2-5)

其中a[sub]1[/sub][sub]、[/sub]a[sub]2[/sub][sub]、[/sub]a[sub]3[/sub][sub]、[/sub]b[sub]1[/sub][sub]、[/sub]b[sub]2[/sub][sub]、[/sub]b[sub]3[/sub]可以由MATLAB工具直接生成。

图2.9二阶结构方框图

IIR属性总结：
1、 反馈(递归)；
2、 可能不稳定；
3、 通常实现为级联双二阶滤波器，而不是直接形式滤波器；
4、 非线性相位；
5、 效率高于FIR滤波器；
6、 抽取输出时无计算优势；
7、 具有类似的模拟滤波器。

2.1.4滤波器的选择

前面已经介绍了IIR和FIR数字滤波器的基本理论，选择哪一种滤波器取决于每种类型滤波器的优点在设计中的重要性，以及滤波器资源消耗情况（FPGA），运算时间（处理器）。
为了能在实际工作中恰当地选用合适的滤波器，现将两种滤波器特点比较分析如下：
(1) 选择数字滤波器是必须考虑经济问题，通常将硬件的复杂性、芯片的面积或计算速度等作为衡量经济问题的因素。在相同的技术指标要求下，由于IIR数字滤波器存在输出对输入的反馈，因此可以用较少的阶数来满足要求，所用的存储单元少，运算次数少，较为经济。例如，用频率抽样法设计一个阻带衰减为20dB的FIR数字滤波器，要33阶才能达到要求，而用双线性变换法只需4～5阶的切比雪夫IIR滤波器就可达到同样的技术指标。这就是说FIR滤波器的阶数要高5～10倍左右。
(2) 在很多情况下，FIR数字滤波器的线性相位与它的高阶数带来的额外成本相比是非常值得的。对于IIR滤波器，选择性越好，其相位的非线性越严重。如果要使IIR滤波器获得线性相位，又满足幅度滤波器的技术要求，必须加全通网络进行相位校正，这同样将大大增加滤波器的阶数。就这一点来看，FIR滤波器优于IIR滤波器。
(3) FIR滤波器主要采用非递归结构，因而无论在理论上还是在实际的有限精度运算中它都是稳定的，有限精度运算误差也较小。IIR滤波器必须采用递归结构，极点必须在z平面单位圆内才能稳定。对于这种结构，运算中的舍入处理有时会引起寄生振荡。
(4) 对于FIR滤波器，由于冲激响应是有限长的，因此可以用快速傅里叶变换算法，这样运算速度可以快得多。IIR滤波器不能进行这样的运算。
(5) 从设计上看，IIR滤波器可以利用模拟滤波器设计的现成的闭合公式、数据和表格，可以用完整的设计公式来设计各种选频滤波器。一旦选定了已知的一种逼近方法(如巴特奥兹，切比雪夫等)，就可以直接把技术指标带入一组设计方程计算出滤波器的阶次和系统函数的系数(或极点和零点)。FIR滤波器则一般没有现成的设计公式。窗函数法只给出了窗函数的计算公式，但计算通带和阻带衰减仍无显式表达式。一般FIR滤波器要借助于计算机。
(6) IIR滤波器主要是设计规格化、频率特性为分段常数的标准低通、高通、带通和带阻滤波器。FIR滤波器则灵活很多，例如频率抽样法可适应各种幅度特性和相位特性的要求。因此FIR滤波器可设计出理想正交变换器、理想微分器、线性调频器等各种网络，适应性很广。而且，目前已经有很多FIR滤波器的计算机程序可供使用。

	FIR滤波器	IIR滤波器
设计方法	一般无解析的设计公式，要借助计算机程序完成	利用AF的成果，可简单、有效地完成设计
设计结果	可得到幅频特性(可以多带)和线性相位(最大优点)	只能得到幅频特性，相频特性未知，如需要线性相位，须用全通网络校准
稳定性	极点全部在原点(永远稳定)无稳定性问题	有稳定性问题
阶数	高	低
结构	非递归系统	递归系统
运算误差	一般无反馈，运算误差小	有反馈，由于运算中的四舍五入会产生极限环

表1 两种滤波器特点比较分析

采用FIR还是IIR滤波器设计，有时可能难以抉择，下面给出几条基本原则以供参考。一般来说，IIR滤波器需要的存储器和乘法运算更少，因而效率高于FIR滤波器。IIR滤波器可以根据以前的模拟滤波器设计经验来设计。IIR滤波器可能会出现不稳定问题，但如果通过级联二阶系统来设计更高阶滤波器，则发生这一问题的可能性大大降低。另一方面，对于给定的截止频率响应，FIR滤波器需要更多抽头和运算，但具有线性相位特性。FIR滤波器采用有限的数据历史工作，如果某些数据损坏(例如ADC闪烁码)，则FIR 滤波器仅针对N-1个样本发生响铃振荡。然而，因为反馈，IIR滤波器的响铃振荡时间将显著延长。如果要求陡峭的截止频率并且处理时间至关重要，则IIR椭圆滤波器是合适之选。如果乘法运算量不是非常大，并且要求线性相位，则应选择FIR滤波器。
2.2多采样率处理（信号的抽取与插值）
本设计中，从1K的采样序列中，输出512、256、128采样序列时，需要做抽取操作。信号的抽取可能会出现频谱的混叠，我们必须保证混叠不影响到带内信号。

（a）原序列 (b) 3倍抽取后的序列
图2.10离散序列的抽取
抽取后信号的频谱变化如下：
（1）没有发生混叠的情况：

图2.11原序列的频谱和3倍抽取后序列的频谱
（2）发生混叠的情况：

图2.12发生混叠的情况
这种情况，在抽取前必须滤波，数字滤波器的截止频率小于[-π/M, π/M]，M为抽取倍数，进过此滤波器的数字序列再进行抽取，就不会发生频率混叠了。此滤波器叫做抗混叠滤波器。
转换的模拟域滤波器，必须满足此关系：
：抽取的结果不会发生频谱混叠
其中fs为原序列的采样频率，fc为抗混叠滤波器的截止频率。

图2.13先滤后抽的频谱变化
从上面分析得出以下结论：
1、 一个设计中原始信号的通带频率fpass是固定的，所以必须保证fpass<fc< span="" style="margin: 0px;">；</fc<>
2、 fc 离fpass越远越有利于滤波器的设计（滚降越小）；
3、 混叠是可以产生的，只要保证折叠到低频部分在fpass之外，带来的坏处是带外衰减不足；
4、 分级抽取有益于滤波器的设计。

chongdazds

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tzhdamo

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