一文讲透，从傅里叶透镜到4f光学系统

几何光学，物理光学及傅里叶光学，是光学专业必修的课程了。本帖子就是傅里叶光学中知识，傅里叶光学，也有部分课程取名信息光学。

傅里叶光学以空间频率为理论基础，通过傅里叶变换将光场分解为不同频率分量，研究光波传播、成像与信息处理的规律。核心内容包括透镜对光场的空频域转换特性（如4F系统实现傅里叶变换与逆变换）、频谱面的滤波调制（如振幅/相位调控实现图像增强或噪声抑制）、光学系统的频域响应分析（调制传递函数MTF）以及波前相位校正。其本质是将信号处理的频域方法引入光学，通过空-频域双向调控实现复杂光场设计与信息处理。一、傅里叶和光学透镜怎么还有关系？傅里叶透镜的自述
光学成像透镜具备二维图像的傅里叶变换特性，而傅里叶变换是完成光信息处理任务的基本途径。那么，什么是傅里叶透镜，它和传统的成像透镜是一个东西吗？
二者不是一个东西，传统的成像透镜不能实现傅里叶透镜的功能。傅里叶透镜的物面（也叫输入面）就是空域，傅里叶透镜的像面（焦面）就是频域。也就是说物面的景物，经过了傅里叶透镜后，相当于做了一个傅里叶变化，像面是景物的频域信息。

傅里叶透镜的光学设计注意事项傅里叶透镜的双共轭像差是指其设计中必须同时校正的两组物像共轭位置的像差，这是其区别于普通成像透镜的核心特征。

第一组共轭像差：输入面（前焦面）→频谱面（后焦面）。物像关系以输入面处衍射后的平行光为物方，对应的像方为频谱面（即透镜后焦面）。

傅里叶透镜的物像关系需遵循正弦条件（y = f *sinθ），而非常规镜头的正切关系（y = f *tanθ）。这种非线性映射可避免频谱畸变，但需通过非球面设计或复杂光阑布局补偿像差 。否则会导致频谱分布非线性。

对于一般光学透镜而言，傅里叶变换特性只在近轴区内才正确，要使镜头在整个孔径和视场范围内准确地实现傅里叶变换，必须设计一种对衍射光成像的特殊镜头—傅里叶变换透镜。上面就是设计的不同大小像面的傅里叶透镜。

第二组共轭像差：输入面（前焦面）→像方无穷远。物像关系输入面作为物方，对应的像在像方无穷远处。此时需保证主光线平行性，即满足远心条件 。校正光阑位置（如孔径光阑在前焦面）的像差，确保出射主光线平行于光轴（角放大率≈0） 。

二、傅里叶透镜如何到4f光学系统？4f光学系统的自述傅里叶透镜是进行了傅里叶变换，那么4f光学系统就是叠加了两个傅里叶透镜，先进行了傅里叶变换，再进行傅里叶逆变换。

L１、L２分别为第一、第二傅里叶变换透镜。物面经过傅里叶变换透镜变换后，其像面上的振幅分布可视为物面的振幅分布经两次衍射而得。第一 次衍射是物面的目标振幅分布f（x０，y０）到频谱面的傅里叶变换，即(引用期刊论文《高分辨率傅里叶变换透镜》)：

式中（x０，y０）为物面坐标，（xｆ，yｆ）为频谱面坐标。第二次衍射是由频谱面到像面的傅里叶变换，即：

式中（x′，y′）为像面坐标。根据透镜的傅里叶变 换原理可知，粒子像面坐标（x′，y′）与物面坐标（x０，y０）的关系为：

4f系统如何滤波视频演示了最为简单的滤波方案，直接在频谱面加光阑进行滤波。频谱面中心是低频信息，越往外，高频信息越多，也就是视频中随着频谱面上的光阑越小，像面越模糊的原因，实质上是光阑越小，高频信息越少，细节信息越少，无法分辨细节了。

4F系统中，滤波通过在频谱面放置空间滤波器实现：利用振幅型（如光阑阻挡特定频率）或相位型（如相位板调制）器件，选择性调控频谱的振幅或相位分布，从而在输出面改变图像特性（如去噪、边缘增强）。4f光学系统的光学设计是两个傅里叶透镜的合二为一，前组和后组常规焦距是一样的，也可以不一样，这样实现了放大或缩小物象。