负反馈电路双端口分析的局限性

shuszhao

为了方便回路增益的计算，双端口分析将负反馈电路分成两个虚拟子电路。但是更改后的电路可能不再反映原电路的确切物理工作，并且由双端口分析提供的结果也可能不准确。尽管双端口分析有局限性，但它仍然能够比较准确地估算回路增益。

双端口（TP）分析广泛用于负反馈电路的研究。这种类型的分析要求我们首先确定所分析的电路属于四种拓扑结构中的哪一种（包括串联-并联、并联-串联，串联-串联或并联-并联），然后适当调整基本放大器，以适应反馈网络负载。教科书确实指出，TP分析假设了某些近似值，因此其结果不一定准确。然而，很少教科书通过实际例子对此进行深入讨论，表明TP分析即便称不上极其缺乏，至少是不够的。因此，在熟练掌握TP分析之后，人们可能会错误地认为结果就是确定的。让我们以图1中的电压跟随器来举例说明。

图1：（a）电压跟随器；（b）小信号等效电路。假设g[sub]m[/sub] = 20mA/V，r[sub]π[/sub] = 2.5kΩ，r[sub]o[/sub] = 50kΩ，R[sub]1[/sub] = R[sub]2[/sub] = 1.0kΩ。

图1a的电压跟随器形成了一个串联-并联电路，它很简单，我们可以直接得到精确的闭环增益。参考图1b的交流等效图，我们使用节点分析可以很容易得到熟悉的表达式：

接下来，我们使用TP分析将电路置于图2a的模块示意图中，其中a[sub]mod[/sub]是为了考虑负载因素而调整过的基本放大器的增益，A[sub]ideal[/sub]是a[sub]mod[/sub]→∞时的闭环增益，该电路的增益可从以下熟悉的表达式得出：

其中a[sub]mod[/sub]/A[sub]ideal[/sub]之比也称为回路增益。参照图2b，通过检查，可以得到：

图2：(a)TP分析示意图；(b)得到调整增益a[sub]mod[/sub] = v[sub]o[/sub]/vi的电路。

通过让g[sub]m[/sub] → ∞，来获得得到A[sub]ideal[/sub]所需的条件a[sub]mod[/sub] → ∞。这使得v[sub]π[/sub] → 0，所以通过r[sub]π[/sub]（因此通过R[sub]1[/sub]）的电流趋于零，表明 v[sub]o[/sub] → v[sub]i[/sub]。所以：

将a[sub]mod[/sub]和A[sub]ideal[/sub]代入公式(2)，我们可以得到：

其中，在A[sub]TP[/sub]表达式中，我们故意显示“0”，以便将它与前面A[sub]exact[/sub]表达式中对应的“1”进行对比。使用图1的一组值，我们可以得到：

在这个示例中这种差异最小，这与低频操作有关，但在高频时会变得更加明显，接下来的示例可以说明这一点。
为了研究频率特性，我们使用图3的交流等效电路，其中包括基极-发射极电容C[sub]π[/sub]，该寄生元件决定了射极跟随器的动态特性。等式（1）和（4）的表达式仍然成立，只要我们进行如下替换：

图3：使用电容C[sub]π[/sub]来看频率响应。

之后，A[sub]exact[/sub]和A[sub]TP[/sub]都成为jω的函数。现在，考虑到ω→∞，我们有g[sub]m[/sub]zπ(jω)→0，然后：

从数学的角度，A[sub]TP[/sub]与A[sub]exact[/sub]的显著差异源于公式分母中的“0”而不是“1”。从物理的角度，我们注意到，在高频率时，C[sub]π[/sub]接近短路，V[sub]π[/sub]和g[sub]m[/sub]V[sub]π[/sub]都接近于零，从而将图3的电路缩减为单纯的分压器，这可由公式（7a）证实。显然，TP分析未能解释这种物理现实，因此其结果必须予以特别考虑。
回归比（RR）分析是优于TP分析的一种替代方案，可以产生精确而非近似的结果。这种类型的分析如图4所示，其中T是模拟放大器增益的相关源的回归比，而a[sub]ft[/sub]是馈通增益，即相关源的增益设置为零时的增益。该电路的增益表示如下：

要找到电压跟随器示例中的T（也称为环路增益）和a[sub]ft[/sub]，请参考图5的交流等效电路。在图5a中，我们施加一个测试电流i[sub]t[/sub]，得到回归电流i[sub]r[/sub]如下：

g[sub]m[/sub]v[sub]π[/sub]源的回归比T为：

图4：RR分析示意图。

图5：图中的电路可以算出(a)g[sub]m[/sub]v[sub]π[/sub]源的回归比T；(b)相同源的馈通增益a[sub]ft[/sub]。

在图5b中，我们利用分压器公式来表示：

将图1中的一组值代入公式(8)，即可算出T和a[sub]ft[/sub]：

这与公式（5）的A[sub]exact[/sub]值一致。事实上，将公式（9）代入公式（8），可以用一些代数计算来验证A[sub]RR[/sub]的表达与A[sub]exact[/sub]的表达是一致的。但是，从簿记的角度来看，A[sub]RR[/sub]更有启发性，因为它分开显示了由于前馈增益和馈通引起的分量。
电流反馈放大器（CFA）实例
如果有那么一个电路受到TP分析局限性的严重影响，并且一直是不公正的指责对象，那就是电流反馈放大器（CFA）。
参照图6（上图），Q[sub]1[/sub]~Q[sub]4[/sub]以及Q[sub]11[/sub]~Q[sub]14[/sub]形成两个相同的单位增益电压缓冲器，分别具有低输出电阻r[sub]n[/sub]和r[sub]o[/sub]（见图6下）。由反相输入节点处的外部电路引起的任何电流不平衡In都会被一对互补Wilson电流镜Q[sub]5[/sub]~Q[sub]7[/sub]以及Q[sub]8[/sub]~Q[sub]10[/sub]检测并复制到输出缓冲器的输入节点，也称为增益节点（见图6下）。在设计良好的CFA中，该节点表现出较大的等效电阻R[sub]eq[/sub]和较小的寄生电容C[sub]eq[/sub]。我们通过公式来表达这一想法：

其中r[sub]c7[/sub]和r[sub]c8[/sub]是Wilson镜的输出电阻，r[sub]b14[/sub]是输出缓冲器的输入电阻。考虑到Wilson镜的输出电阻是(1 + β/2)r[sub]o[/sub]，其中r[sub]o[/sub]是输出BJT的集电极交流电阻，并且达林顿型缓冲器的输入电阻是在输出负载乘以β[sup]2[/sup]的数量级上，这对于一个设计良好的CFA并不奇怪。

图6：电流反馈放大器(CFA)示意图(上图)及其AC等效电路(下图)。

R[sub]eq[/sub]比较大(一般在MΩ范围)，C[sub]eq[/sub]在pF范围。如果我们定义：

那么显然增益节点电压是zxI[sub]n[/sub]。以图7所示的方式，将1xI[sub]n[/sub]源、增益节点元素和输出缓冲器合并成单个电流控制的电压源，电压值为zIn，输出电阻r[sub]o[/sub]。这里增加了两个外部电阻R[sub]G[/sub]和R[sub]F[/sub]，使 CFA可完成闭环运算，接下来将进行探讨。
图7的电路类似于用传统运算放大器实现的非反相放大器，主要区别在于，精心设计的CFA中r[sub]n[/sub]非常小（几十欧姆或更小），而运算放大器的输入电阻非常大（兆欧姆或更高）。无论如何，我们观察到在z → ∞的情况下，可以得到V[sub]n[/sub] → V[sub]p[/sub]= V[sub]i[/sub]，所以可以表示为：

图7：配置一个非反相放大的CFA。假设CFA的r[sub]n[/sub] = 25Ω，r[sub]o[/sub] = 50Ω，R[sub]eq[/sub] = 500kΩ，C[sub]eq[/sub] = 1.2732pF。此外，使R[sub]F[/sub] = 1.25kΩ，R[sub]G[/sub] = RF/9

该电路似乎是串联-并联类型，所以我们尝试用TP分析并将其分成两个独立的模块：（a）基本放大器，但做了相应调整以适应反馈网络负载，以及（b）无负载的反馈网络本身。如图8所示，电流控制电压源zI[sub]n[/sub]已被电压控制电压源zI[sub]n[/sub] = z(V[sub]pn[/sub]/r[sub]n[/sub])所取代，使得CFA更接近我们熟悉的运算放大器。通过检查，我们得出：

因此调整后的增益为：

图8：为了对图7中的反馈电路进行TP分析，将其分解成调整的放大器以适应反馈网络负载，以及无负载的反馈网络。

用图7中的数据来计算A[sub]ideal[/sub]和a[sub]mod[/sub]，然后插入公式(2)，得到：

之前曾讨论过，对于r[sub]n[/sub] = r[sub]o[/sub] = 0，公式（2）将给出A = (10V/V)/(1 + R[sub]F[/sub]/z)，所以根据TP分析，r[sub]n[/sub]和r[sub]o[/sub]将对R[sub]F[/sub]产生影响，从实际值1.25kΩ提高到表观值1.554kΩ。
我们现在希望使用RR分析来得出确切的结果，看看TP分析的近似度如何。参考图9a，我们有：

因此，通过代数运算可以得到zI[sub]n[/sub]源的回归比：

在图9b中，我们以常规方式处理，可以得到：

用图7中的数据来计算A[sub]ideal[/sub]、T和a[sub]ft[/sub]，然后插入公式(8)，得到：

图9：利用RR分析来计算(a)zI[sub]n[/sub]源的回归比T；(b)相同源的馈通增益a[sub]ft[/sub]。

请注意，由TP分析提供的RF表观值现在是1.559kΩ，而不是1.554kΩ。在这个例子中，这种差异非常小，但它仍然表明TP分析只是近似的（而RR分析是准确的）。如果我们使公式（14）和（16）中的z → 0而获得增益的高频渐近值，那么差异就会变得更加明显。

使用PSpice和图7的分量值，我们为1V输入生成如图10所示的快照。请注意，为了保持10.328V的输出，相关源需要(10.328V)/(500kΩ) = 20.66uA的控制电流I[sub]N[/sub]。当I[sub]N[/sub] ≠ 0，R[sub]F[/sub]和R[sub]G[/sub]吸取不同的电流，这会使图8b中TP分析所假定的无负载反馈网络无效。事实上，TP分析使用虚构电路，旨在便于通过手工计算估计环路增益。但是，当进行实验室测量时，我们将面对如图10所示的真实电路，而不是图8的虚构电路！

图10：对应1.0V直流输入的电压和电流。

电压反馈还是电流反馈？
反馈给CFA反相输入的信号是什么样的？TP分析规定了在输入端串联求和的电压反馈，但事实如此吗？为了找到答案，我们使用由R.D.Middlebrook开创的双注入技术，它既适用于SPICE仿真，也适用于实验室测试。这种技术要求，在使电路处于休眠状态之后，在兴趣点断开反馈回路，并分别注入一个串联测试电压V[sub]t[/sub]和一个并联测试电流I[sub]t[/sub]。这些激励会导致电路对正向响应V[sub]f[/sub]和I[sub]f[/sub]发生反应，反过来又伴随着返回响应V[sub]r[/sub]和I[sub]r[/sub]。如果我们让：

那么回路增益T可以在如下条件下得到：

我们想知道反馈到输入端的是什么，所以就在反馈网络与输入缓冲器的输出节点交会处，断开测试信号注入回路，如图11所示。图12中的曲线表示T的构成，包括电流和电压分量，但是由于T更接近T[sub]i[/sub]，而不是T[sub]v[/sub]，所以电流分量占优势。事实上，使用PSpice的游标，我们发现T[sub]i0[/sub] = 384.8、T[sub]v0[/sub] = 1935.5、T[sub]0[/sub] = 320.7的直流值，确实满足公式（19）。
我们想知道反馈路径上给定点的电流和电压反馈的混合是由什么决定的，由T[sub]i[/sub]和T[sub]v[/sub]满足相应条件就可得到答案。

其中Z[sub]f[/sub]和Z[sub]r[/sub]分别是从测试信号注入点，前向和反向看到的阻抗。在图11中，Z[sub]f[/sub] = r[sub]n[/sub] = 25Ω且Z[sub]r[/sub] = R[sub]G[/sub]//(R[sub]F[/sub]+r[sub]o[/sub]) = 125.5Ω，因此证实直流情况下我们有(1 + 384.8)/(1 + 1935.5) ≅ 25/125.5。显然，只要满足条件：

将主要是电流反馈。在r[sub]n[/sub] → 0时，我们将有V[sub]pn[/sub] → 0，反馈将完全是电流类型。TP分析是不会考虑到这些的，因为无论公式（21）是否满足，TP分析都只能预测到其虚拟电路的电压反馈。精心设计的CFA电路一般可以充分满足公式（21）。实际上，一些CFA在输入缓冲区周围使用本地反馈来实现真正的低r[sub]n[/sub]值。很明显，术语“电流反馈”对这些器件来说是非常适合的。

图11：使用电压和电流注入来获得图7电路的环路增益T。

图12：T[sub]v[/sub]、T[sub]i[/sub]和T的频率曲线。

使用传统运算放大器的电路可以进行双重论证。图13所示为流行的I-V转换器，也称为互阻放大器。从TP分析的角度来看，这是一种并联-并联结构，意味着这是电流类型的反馈。但真是这样吗？一个精心设计的I-V转换器R[sub]F[/sub] << r[sub]i[/sub]，所以如果我们为了施加双注入而在反相输入引脚处断开电路，则会遇到条件Z[sub]f[/sub] >> Z[sub]r[/sub](Z[sub]f[/sub] = r[sub]i[/sub]，Z[sub]r[/sub] = R[sub]F[/sub] + r[sub]o[/sub])。通过公式（20）和（19）可以看出，这是明显的电压型反馈。若r[sub]i[/sub] → ∞，反馈将完全是电压类型。因此，传统运算放大器也被称为电压反馈放大器（VFA），以区别于CFA。另一方面，如果我们使用CFA实现图13的I-V转换器，在输入端满足条件Z[sub]f[/sub] << Z[sub]r[/sub]，则反馈实际上是电流类型，在这种情况下确定为并联-并联型是合适的。

图13：使用传统运放的并联-并联结构：电流反馈还是电压反馈？

总结
为便于人工计算环路增益，TP分析将负反馈电路分成两个虚拟子电路：(a)调整的运放以适应反馈网络负载；(b)无负载的反馈网络。但是更改后的电路可能不再反映原电路的确切工作原理，并且由TP分析得出的结果也可能不准确。TP分析在判断实际反馈到输入端的信号类型时也可能出错。
在精心设计的VFA电路中，输入端的反馈主要是电压类型，即使在TP分析认为输入端是并联类型的结构中也是如此，比如图13的I-V转换器。若ri → ∞，为测量Ti注入的测试电流只能沿着返回方向流动，因此由公式（19）可以得出，Ti → –Ir/0 = ∞，且T → Tv。
相反地，对于精心设计的CFA电路，输入端的反馈主要是电流类型，即使在TP分析认为输入端为串联类型的结构中也是如此，比如图7的非反相放大器。若rn → 0，为测量Tv而施加的测试电压只能沿着返回方向延伸，因此由公式（19）可以得出，Tv → –Vr/0 = ∞，且T → Ti。
尽管TP分析有局限性，但它能够对回路增益做出很好的估算，至少在馈通可以忽略不计的情况下，因此仍有一定价值。然而，若使用TP分析来质疑甚至试图推翻通过RR分析或双注入技术所得出的确切结果，注定是失败的尝试。遗憾的是，所有企图抹黑CFA的尝试都是基于TP分析的。